Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 12. Найдите объем пирамиды

Решим задачу для пирамиды ABCM, в основании которой лежит треугольник ABC.

Так как все боковые ребра пирамиды равны между собой, то их проекции так же равны:

AM = MC = MB ⇒ AB = AC = BC ⇒ ΔABC — правильный ⇒ ∠BAC = 60°.

Тогда радиус описанной около этого треугольника окружности равен AC / √3.

Из прямоугольного ΔAMC AC = √(144 * 2) = 12√2. Тогда R = 12√2/√3.

Центр O описанной окружности приходится на основание высоты пирамиды. Рассмотрим прямоугольный ΔMOB.

OB = R = 12√2/√3;

MB = 12; 

тогда по т. Пифагора OM = √(144 - (12√2/√3)²) = 12/√3 = h.

Sосн = 0,5 * 12√2 * 12√2 * sin 60 = 144√3/2.

V = 1/3 * S осн * h = 1/3 * 144√3/2 *12/√3 = 288.

Ответ: 288.