Определите все a, при каждом из которых уравнение 5sin x + 12cos x = a - 2 имеет хотя бы одно решение.

Рассмотрим уравнение:

5 * sin(x) + 12 * cos(x) = a - 2,

(5 / 13) * sin(x) + (12 / 13) * cos(x) = (a - 2) / 13.

Заметим, что (5 / 13)^2 + (12 / 13)^2 = 1.

Значит, существует такой угол С, что

cos(C) = 5 / 13 и sin(C) = 12 / 13. Тогда:

cos(C) * sin(x) + sin(C) * cos(x) = sin(x + C) = (a - 2) / 13.

А уравнение sin(x + C) = (a - 2) / 13 имеет решение, если:

-1 <= (a - 2) / 13 <= 1, -13 <= a - 2 <= 13,

-11 <= a <= 15.

Ответ: пр -11 <= a <= 15 уравнение имеет решение.