В геометрической прогрессии b1+b2=30 b2+b3=20. Найдите первые три члена прогрессии

Дано: b_n – геометрическая прогрессия;

b₁ + b₂ = 30, b₂ + b₃ = 20;

Найти: b₁; b₂; b₃ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^(n – 1),

где b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – её знаменатель, n – количество членов прогрессии.

C помощью этой формулы выразим второй и третий члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^(2 – 1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^(3 – 1) = b₁ * q^2.

Т.о. имеем:

b₁ + b₂ = 30;               и             b₂ + b₃ = 20;

b₁ + b₁ * q = 30;                        b₁ * q + b₁ * q^2 = 20;

b₁ (1 + q) = 30;                         b₁ (q + q^2) = 20;

b₁ = 30 / (1 + q).                       b₁ = 20 / (q + q^2).

Т.е. 30 / (1 + q) = 20 / (q + q^2);

30 * (q + q^2) = 20 * (1 + q);

30q + 30q^2 = 20 + 20q;

30q^2 + 10q – 20 = 0;

D = (10)^2 – 4 * 30 * (-20) = 2500; sqrt(D) = sqrt (2500) = 50;

q₁ = (-10 + 50) / 60 = 2/3;

q₂ = (-10 - 50) / 60 = -1.

Подставим оба полученных значений q выражение для нахождения b₁:

b₁ = 30 / (1 + 2/3) = 30 / (5/3) = 90/5 = 18;

b₁ = 30 / (1 + (-1)) = 30 / 0 – смысла не имеет, следовательно, q = 2/3.

b₂ = b₁ * q = 18 * 2/3 = 12;

b₃ = b₁ * q^2 = 18 * 2/3^2 = 8.

Ответ: b₁ = 18; b₂ = 12; b₃ =8.