Упростите выражение sin(arccos3/5+arcsin8/17)

Воспользуемся формулой sin(α ± β) = sinα∙cosβ ± cosα∙sinβ:

sin[arccos(3/5) + arcsin(8/17)] ⇔⇔ sin[arccos(3/5)]∙cos[arcsin(8/17)] ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)];

Воспользуемся формулами:arcsin(x) = arccos√(1 - x²) при 0 ≤ x ≤ 1;arccos(x) = arcsin√(1 - x²) при 0 ≤ x ≤ 1;

sin[arccos(3/5)]∙cos[arcsin(8/17)] ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)] ⇔⇔ sin{arcsin√[1 - (3/5)²]}∙cos{arccos√[1 - (8/17)²]} ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)];

Вычислим отдельно:√[1 - (3/5)²] = √[1 - 9/25] = √[16/25] = 4/5;√[1 - (8/17)²] = √[1 - 64/289] = √[225/289] = 15/17;

Подставим в выражение:sin{arcsin√[1 - (3/5)²]}∙cos{arccos√[1 - (8/17)²]} ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)]) ⇔⇔ sin[arcsin(4/5)]∙cos[arccos(15/17)] ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)];

Теперь заменим:sin[arcsin(α)] = α;cos[arccos(α)] = α;

sin[arcsin(4/5)]∙cos[arccos(15/17)] ++ cos[arccos(3/5)]∙sin[arcsin(8/17)] ⇔⇔ (4/5)∙(15/17) + (3/5)∙(8/17) ⇔⇔ 60/85 + 24/85 = 84/85.

Ответ: sin[arccos(3/5) + arcsin(8/17)] = 84/85.