Определить все a,при каждом из которых неравенство 4sin x+ 3cos x больше либо равно a и имеет хотя бы одно решение .

   1. Найдем квадратный корень от суммы квадратов коэффициентов двух тригонометрических функций:

      4sinx + 3cosx ≥ a;

• A = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2;
• √A = 5.

   2. Разделим обе части неравенства на 5 и воспользуемся формулой для синуса суммы двух аргументов:

• sin(α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ;

• 4/5 * sinx + 3/5 * cosx ≥ a/5;
• cosφ * sinx + sinφ * cosx ≥ a/5;
• sin(x + φ) ≥ a/5, (1) где

      ф = arcsin(3/5) = arccos(4/5).

   3. Неравенство (1) имеет решение при условии:

• a/5 ≤ 1;
• a ≤ 5;
• a ∈ (-∞; 5].

   Ответ: (-∞; 5].