Найти площадь вписанной окружности в ромб, если его стороны по 4, а угол 45°(если что площадь ромба 4 корней из 2)

   1. Площадь треугольника ABD (http://bit.ly/2La9EvX) вычислим по двум сторонам и углу между ними:

      S(ABD) = 1/2 * AB * AD * sin∠A.

   2. Площадь ромба равна:

      S(ABCD) = 2 * S(ABD) = 2 * 1/2 * AB * AD * sin∠A = AB * AD * sin∠A;

      S(ABCD) = a^2 * sin∠A. (1)

   3. Для площади четырехугольника, в который вписан окружность, существует также формула:

      S(ABCD) = pr, (2) где

• r - радиус вписанной окружности;
• p - полупериметр четырехугольника.

   4. Из уравнений (1) и (2) получим:

• pr = a^2 * sin∠A;
• r = a^2/p * sin∠A;
• r = a^2/(2a) * sin45° = a/2 * √2/2 = 4/2 * √2/2 = √2.

   5. Площадь круга:

      Sкр. = πr^2 = π(√2)^2 = 2π.

   Ответ: 2π.