В четырёхугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра равна 18 см. Плоскость сечения проходит через диагональ BD и перпендикулярна

Выполним чертеж, проведем данное сечение, нанесем известные данные.

https://bit.ly/2rxmZqG

Так как сечение перпендикулярно ребру SC, то высота полученной пирамиды SDBH будет равна SH.

Объем пирамиды равна трети произведения площади основания на высоту.

V = 1/3 * S_осн * h.

Так как пирамида правильная, все ребра равны 18 см, то высоты ВН, ОН и DH будут являться и медианами, то есть высота пирамиды SH = 1/2 * SC = 9 см.

Площадь основания пирамиды SDBH - это площадь сечения.

S_осн = 1/2 * ОН * BD.

Треугольник АВD прямоугольный (так как ABCD - квадрат), по теореме Пифагора:

BD² = AB² + BD² = 18² + 18² = 2 * 18².

BD = √(2 * 18²) = 18√2 (см).

Треугольник OСН - прямоугольный (сечение перпендикулярно SC), OС = 1/2 * AC = 1/2 * BD = 8√2 см, СН = 9 см, по теореме Пифагора:

OН² = OC² - CH² = (9√2)² - 9² = 81 * 2 - 81 = 81.

ОН = √81 = 9 (см).

Отсюда S_осн = 1/2 * 9 * 18√2 = 81√2 (см²).

Следовательно,  объем пирамиды равен:

V = 1/3 * 9 * 81√2 = 243√2 (cм³).