В треугольнике MNK стороны NK =16 , MK =12, а центр окружности, проведенной через вершину M и середины сторон MN и NK,

   1. В треугольниках KOP и KOM углы MKO и PKO равны, сторона KO - общая, а стороны MK и PK различны (http://bit.ly/2KQMk6h):

• MK = 12;
• PK = 1/2 * 16 = 8.

   2. Построим симметричные точки P1 и M1 относительно прямой KO. Из равенства симметричных треугольников получим:

• KP1 = KP = 8;
• M1P = MP1 = 12 - 8 = 4;
• MH = P1H = M1H1 = PH1 = 1/2 * 4 = 2;
• NH1 = 8 - 2 = 6.

   3. По теореме Пифагора получим:

• R^2 = h^2 + 2^2;
• NO^2 = h^2 + 6^2;

• NO^2 - (3x)^2 = R^2 - x^2;
• h^2 + 36 - 9x^2 = h^2 + 4 - x^2;
• 32 = 8x^2;
• x^2 = 4;
• x = 2;

• MN = 4x = 4 * 2 = 8.

   Ответ: 8.