Высота правильной треугольной пирамиды равна 8см, а боковое ребро-10см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Выполняем чертеж. Пусть МАВС - правильная треугольная пирамида, МО = 8 см, АМ = ВМ = СМ = 10 см.

https://bit.ly/2jQIRsR

Площадь боковой поверхности будет равна S_бок = 3 * S(МАВ).

Высота МО опускается в точку пересечения медиан (биссектрис и высот) правильного треугольника АВС.

Треугольник МОС - прямоугольный (МО перпендикулярна АВС).

По теореме Пифагора: СО = √(МС² - MO²) = √(100 - 64) = √36 = 6 (см).

Медианы треугольника АВС пересекаются в отношении 2 : 1, значит, НО = 6 : 2 = 3 (см).

СН = 3 + 6 = 9 (см).

Треугольник СНВ - прямоугольный (СН - высота). Пусть сторона треугольника АВС = а, тогда ВН = 1/2АВ = а/2.

По теореме Пифагора:

а² - (a/2)² = CH².

(3а²)/4 = 81.

3а² = 324.

а² = 108.

а = √108 = 6√3 (см) - сторона треугольника АВС.

Треугольник АМН - прямоугольный (МН - высота треугольника АМН).

АН = 1/2АВ = 6√3/2 = 3√3 (см).

По теореме Пифагора:

МН = √(АМ² - AH²) = √(100 - 27) = √73 (cм).

S(МАВ) = 1/2 * МН * АВ = 1/2 * √73 * 6√3 = 3√219 (см²).

S_бок = 3 * 3√219 = 9√219 (см²).