Доказать, что в треугольнике а/sin альфа=b/sin бетта= с/sin гамма = 2R, где R - радиус описанной около треугольника окружности

Рассмотрим треугольник ABC и пусть O - центр описанной около него окружности.

Обозначим углы треугольника при соответствующих вершинах A, B, C и

длины сторон напротив углов, как a, b, c.

Проведем прямую через вершину B и центр O описанной окружности и пусть точка пересечения этой прямой с окружностью будет D.

Заметим, что углы BAC и BDC опораются на одну дугу, и следовательно, равны.

Т.е. BAC = BDC = A.

Теперь рассмотри треугольник BCD. Так как BD является диаметром окружности, то

треугольник BCD - прямоугольный с прямым углом BCD. Поэтому:

a = BC = BD * sin(BDC) = 2 * R * sin(A), где R - радиус описанной окружности.

Аналогичным образом можем получить, что

b = 2 * R * sin(B) и c = 2 * R * sin(C).

Итак, мы получили равенства:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2 * R, что и требовалось доказать.

https://bit.ly/2PNtm3G