два токаря выполнили задание за 15 дней, причем второй токарь присоединился к первому через 7 дней после начала работы.

Пусть х - это количество дней, за которые первый токарь выполнит всю работу, тогда второй выполнит работу за (х + 7) дней.

Производительность = Работа : Время (работа = 1).

Производительность первого равна 1/х, то есть за 1 день он сможет выполнить 1/х часть всей работы. Производительность второго тогда равна 1/(х + 7).

За 7 дней, когда первый токарь работал один, он выполнил (7 * 1/х) часть всей работы.

Так как работы была выполнена на 15 дней, они работали вместе 8 дней. Их общая производительность равна (1/х + 1/(х + 7)), за 8 дней они выполнят 8 * (1/х + 1/(х + 7)) часть работы.

Получается уравнение: (7 * 1/х) + 8 * (1/х + 1/(х + 7)) = 1 (так как работа была выполнена в полном объеме).

7/х + 8(1/х + 1/(х + 7)) = 1.

7/х + 8/х + 8/(х + 7) = 1.

15/х + 8/(х + 7) = 1.

(15х + 105 + 8х)/х(х + 7) = 1.

(23х + 105)/(х² + 7х) = 1.

х² + 7х = 23х + 105.

х² - 16х - 105 = 0.

D = 256 + 420 = 676 (√D = 26);

х₁ = (16 - 26)/2 = -5 (не подходит).

х₂ = (16 + 26)/2 = 42/2 = 21 (день) - первый токарь выполнит всю работу.

21 + 7 = 28 (дней) - второй токарь выполнит всю работу.