tg a+ctg b / ctg a+tg b=

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, котангенс - отношение котангенса к синусу.

tga = sina/cosa; ctga = cosa/sina.

Преобразуем выражение:

(tga + ctgb)/(ctga + tgb) = (sina/cosa + cosb/sinb)/(cosa/sina + sinb/cosb).

Приведем дроби к общему знаменателю в числителе и знаменателе.

sina/cosa + cosb/sinb = (sinasinb + cosacosb)/cosasinb.

cosa/sina + sinb/cosb = (cosacosb + sinasinb)/sinacosb = (sinasinb + cosacosb)/sinacosb.

Получилась дробь: ((sinasinb + cosacosb)/cosasinb)/((sinasinb + cosacosb)/sinacosb).

Скобку можно сократить, получается (cosasinb)/(sinacosb) = cosa/sina * sinb/cosb = ctga * tgb.