дана арифметическая прогрессия, в которой 150 чисел, разность прогрессии равна 35, может ли в прогрессии быть ровно 10

Предположим, что существует такая арифметическая прогрессия, что     в ней найдутся 10 членов, которые будут кратны 17.

Любой член арифметической прогрессии записывается следующим образом:

an = a1 + d * (n - 1), где d - разность прогрессии.

Тогда в данной прогрессии:

an = a1 + 35 * (n - 1).

Пусть какой-нибудь член прогрессии делится на 17. Тогда имеем:

ak = a1 + 35 * (k - 1) = 17 * n, где n - натуральное число.

Следующий член прогрессии, который делится на 17 записывается:

al = a1 + 35 * (l - 1) = 17 * m, где m - натуральное число.

Рассмотрим их разность:

al - ak = 35 * (l - k) = 17 * (m - n).

Так как 17 - простое число и 35 не делится на 17, то:

l - k = 17 * p, где p - натуральное число.

Следовательно, если какой-нибудь член данной арифметической прогрессии делится на 17, то ближайший член прогрессии, который может делится на 17, будет не ближе, чем 17-ым от данного члена.

Если в прогрессии было бы 10 членов делящихся на 17,  то элементов прогрессии должно было бы быть 17 * 10 = 170,

а членов у данной прогрессии 150. Получили противоречие.

Значит, таких 10 членов, делящихся на 17, найти не получится.