Вычислить площадь фигуры ограниченной линии: 1)у= -х в квадрате+4 х+у=4 2)у=х в квадрате +1 5х+3у=25

   1. у = -х^2 + 4 и х + у = 4.

   a) Точки пересечения графиков функций:

• {у = -х^2 + 4;{х + у = 4;
• {4 - x = -х^2 + 4;{у = 4 - x;
• {x^2 - x = 0;{у = 4 - x;
• {x(x - 1) = 0;{у = 4 - x;
• 1) x1 = 0; y1 = 4;
• 2) x2 = 1; y2 = 3.

   b) Первообразная функции и площадь фигуры:

• f(x) = -x^2 + 4 - (4 - x) = -x^2 + x;
• F(x) = ∫f(x)dx = ∫(-x^2 + x)dx = -x^3/3 + x^2/2;

• F(x1) = F(0) = -0^3/3 + 0^2/2 = 0;
• F(x2) = F(1) = -1^3/3 + 1^2/2 = -1/3 + 1/2 = 1/6;

• S = F(x2) - F(x1) = 1/6 - 0 = 1/6.

   2. у = х^2 + 1 и 5х + 3у = 25.

   a) Точки пересечения графиков функций:

• {у = х^2 + 1;{5х + 3у = 25;
• {25/3 - 5x/3 = х^2 + 1;{у = 25/3 - 5x/3;
• {х^2 + 5x/3 - 22/3 = 0;{у = 25/3 - 5x/3;
• {3х^2 + 5x - 22 = 0;{у = 25/3 - 5x/3;

• D = 5^2 + 4 * 3 * 22 = 25 + 264 = 289;
• x = (-5 ± √289)/6 = (-5 ± 17)/6;

• 1) x1 = -11/3; y1 = 130/9;
• 2) x2 = 2; y2 = 5.

   b) Первообразная функции и площадь фигуры:

• g(x) = (25/3 - 5x/3) - (х^2 + 1) = -x^2 - 5x/3 + 22/3;
• G(x) = ∫g(x)dx = ∫(-x^2 - 5x/3 + 22/3)dx = -x^3/3 - 5x^2/6 + 22x/3;

• G(x1) = G(-11/3) = (11/3)^3/3 - 5(11/3)^2/6 - 22 * (11/3)/3 = 11^3/3^4 - 5 * 11^2/(2 * 3^3) - 2 * 11^2/3^2 = 11^2/3^4(11 - 15/2 - 18) = 11^2/(2 * 3^4)(22 - 15 - 36) = -29 * 11^2/(2 * 3^4);
• G(x2) = G(2) = -2^3/3 - 5 * 2^2/6 + 22 * 2/3 = -8/3 - 10/3 + 44/3 = 26/3;

• S = G(x2) - G(x1) = 26/3 + 29 * 11^2/(2 * 3^4) = (1404 + 3509)/(2 * 3^4) = 4913/162.

   Ответ: 1) 1/6; 2) 4913/162.