В арифметической прогрессии 16-ый член равен -43, 38-й членравен 1, а сумма первых n членов прогрессии равно нулю. Найдите

Выразим а₁₆ и а₃₈, используя формулу члена арифметической прогрессии а_n = а₁ + (n – 1)d.

а₁₆ = а₁ + 15d;

а₃₈ = а₁ + 37d.

Подставим в них данные.

– 43 = а₁ + 15d;

1 = а₁ + 37d.

Выразим а₁ во втором уравнении.

а₁ = 1 – 37d.

Подставим а₁ в первое уравнение и найдём d.

– 43 = 1 – 37d + 15d;

– 44 = – 22d;

d = 2.

Найдём а₁ = 1 – 37d = 1 – 37 ∙ 2 = 1 – 74 = – 73.

Подставим известные данные в формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

S_n = (2а₁ + (n – 1)d) ∙ n / 2;

0 = (2 ∙ (– 73) + (n – 1) ∙ 2) ∙ n / 2;

0 ∙ ² / _n = – 146 + 2n – 2;

0 = – 148 + 2n;

2n = 148;

n = 74.

Ответ: n = 74.