(a+b)(a+2)(b+2)>=16ab Докажите неравенство!

Заметим, что

(a - b)^2 >= 0,

a^2 + b^2 - 2 * a * b >= 0,

a^2 + b^2 >= 2 * a * b, для любых значений a и b.

Расскроем скобки в данном выражении:

(a + b) * (a + 2) * (b + 2) = (a + b) * (a * b + 2 * a + 2 * b + 4) =

= a^2 * b + 2 * a^2 + 2 * a * b + 4 * a + a * b^2 + 2 * a * b + 2 * b^2 + 4 * b =

= 2 * (a^2 + b^2) + 4 * a * b + a^2 * b + 4 * b + a * b^2 + 4 * a =

= 2 * (a^2 + b^2) + 4 * a * b + (a^2 + 4) * b + a * (b^2 + 4).

Из указанного выше неравенства имеем:

a^2 + b^2 >= 2 * a * b,

a^2 + 4 >= 2 * a * 2 = 4 * a,

b^2 + 4 >= 2 * b * 2 = 4 * b.

Следовательно,

2 * (a^2 + b^2) + 4 * a * b + (a^2 + 4) * b + a * (b^2 + 4) >= 2 * 2 * a * b + 4 * a * b +

+ 4 * a * b + 4 * a * b = 4 * a * b + 4 * a * b + 4 * a * b + 4 * a * b = 16 * a * b,

что и требовалось доказать.