Какими должны быть стороны прямоугольника с площадью 144 см^2, что бы его периметр приобретал наименьшего значения

Введем переменную. Пусть одна из сторон прямоугольника будет равна х.

Вторую сторону выразим через площадь прямоугольника: 144/х.

Выразим периметр прямоугольника со сторонами х и 144/х:

Р = (х + 144/х) * 2 = 2х + 288/х.

Получили функцию f(x) = 2х + 288/х. Найдем минимумы и максимумы этой функции через производную.

f\'(х) = 2 - 288/х².

Найдем нули производной:

2 - 288/х² = 0.

(2х² - 288)/х² = 0.

ОДЗ: х² не равен 0, х не равен 0.

2х² - 288 = 0.

2х² = 288.

x² = 144.

х = 12 и х = -12.

Отмечаем на прямой обе точки, определяем знаки производной на каждом промежутке.

(+) -12 (-) 12 (+).

(-∞; -12) функция возрастает,

(-12; 12) функция убывает,

(12; +∞) функция возрастает.

Следовательно, точкой минимума будет х = 12 (см).

Вторая сторона равна 144/12 = 12 (см).

Ответ: стороны прямоугольника должны быть 12 см и 12 см.