Sin4a+sin10a+sin22a+sin16a

Сгруппируем слагаемые парами.

sin 4a + sin 10a + sin 22a + sin 16a = (sin 4a + sin 22a) + (sin 10a + sin 16a).

Воспользуемся формулой преобразования суммы в произведение sin α + sin β = 2sin ^{α + β} / ₂ ∙ cos ^{α – β} / ₂.

(sin 4a + sin 22a) + (sin 10a + sin 16a) = 2sin ^{4а + 22а} / ₂ ∙ cos ^{4а – 22а} / ₂ + 2sin ^{10а + 16а} / ₂ ∙ cos ^{10а – 16а} / ₂.

Упростим выражение.

2sin 13а ∙ cos  (– 9а)  + 2sin 13а  ∙ cos (– 3а) .

Вынесем за скобку 2sin 13а и воспользуемся чётностью функции косинус cos (– α) = cos α.

2sin 13а ( cos 9а + cos 3а).

Упростим выражение в скобках по формуле cos α + cos β = cos ^{α + β} / ₂ cos ^{α – β} / ₂.

2sin 13а  ∙ 2cos ^{9а + 3а} / ₂ cos ^{9а – 3а} / ₂ = 4sin 13а ∙ cos 6а ∙ cos 3а.

Ответ: sin 4a + sin 10a + sin 22a + sin 16a = 4sin 13а ∙ cos 6а ∙ cos 3а.