Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность r(x,y)

D : y=x² , у=0, х=8

r(x,y) : х+2у

m=∫∫

D

(x

2

+y

2

)dxdy=∫

2

0

dx∫

2−x

0

(x

2

+y

2

)dy=∫

2

0

(x

2

y+y

3

3

)∣

2−x

0

dx=

=∫

2

0

(x

2

(2−x)+(2−x)

3

3

)dx=∫

2

0

(2x

2

−x

3

+(2−x)

3

3

)dx=

=∫

2

0

2x

2

dx−∫

2

0

x

3

dx+∫

2

0

((2−x

3

)

3

)dx=2x

3

3

∣

2

0

−x

4

4

∣

2

0

+(2−x)

4

12

∣

2

0

=

=16

3

−16

4

+16

12

=(4−3+1).16

12

=32

12

=8

3