Даны четыре точки А1(5, 3, 7), А2(-2, 3, 5), А3(4, 2, 10), А4(1, 2, 7). Составить уравнения:

а) плоскости А1 А2 А3;

б) прямой А1 А2;

в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2 А3;

г) прямой А3N, параллельной прямой А1 А2;

д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1 А2.

Вычислить:

е) синус угла между прямой А1 А4 и плоскостью А1 А2 А3.

ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1 А2 А3.

А1(4,2,10), А2(1,2,0), А3(3,5,7), А4(2,-3,5)

a) (A1,A2,A3)=

|x-4..y-2..z-10|

|1-4..2-2..0-10|=0

|3-4..5-2..7-10|

|x-4..y-2..z-10|

|-3.....0....-10.|=-9(z-10)+10(y-2)+30(x-4)-9(y-2)=-9z+90+10y-20+30x-120-9y+18=0

|-1.....3.....-3..|

30x+y-9z-32=0

b) (А1,А2):

(x-4)/(1-4)=(y-2)/(2-2)=(z-10)/(0-10)

(x-4)/-3=(y-2)/0=(z-10)/-10 - каноническое уравнение прямой А1А2

с) нормальный вектор n(30,1,-9) плоскости А1А2А3 будет направляющим вектором для искомой прямой А4М

(x-2)/30=(y+3)/1=(z-5)/-9=t

x=30t+2

y=t-3

z=-9t+5

e) направляющий вектор n(-3,0,-10) прямой А1А2 будет нормальным для искомой плоскости

-3*(x-2)+0*(y+3)-10*(z-5)=0

-3x+6-10z+50=0

-3x-10z+56=0