Существует ли многочлен P(x) с целыми коэффициентами такой, что P(0) =19; P(1) = 85; P(2) = 1985

Ответ:

Существует

Пошаговое объяснение:

Попробуем предъявить такой многочлен. В точке 0 значение должно быть 19, так что многочлен должен иметь вид P(x)=xQ(x)+19.

Подставляем x = 1: Q(1)+19=85, тогда Q(1)=66 и Q(x)=(x-1)R(x)+66.

Подставляем найденное Q в P: P(x)=x(x-1)R(x)+66x+19

Теперь подставляем x = 2:

1985=2\cdot1\cdot R(2)+66\cdot2+19\\1985=2R(2)+151\\2R(2)=1834\\R(2)=917

Самый простой способ удовлетворить такому требованию - взять R(x) = 917 тождественно, тогда получится полином

P(x)=917x(x-1)+66x+19=917x^2-851x+19

Можно получить и общий вид многочленов, удовлетворяющих условию. Для этого надо взять R(x)=(x-2)S(x)+917. Получим, что подойдут полиномы вида

P(x)=x(x-1)(x-2)S(x)+917x^2-851x+19,

где многочлен S(x) можно выбрать произвольно