Tga+ctgb/tgb+ctga=tga*ctgb

(tga + ctgb)/(tgb + ctga) = tga * ctgb; 

Тангенс и котангенс запишем в виде частного косинуса к синусу и наоборот. 

(sina/cosa + cosb/sinb)/(sinb/cosb + cosa/sina) = tga * ctgb; 

Приведем выражение в левой части уравнения к общей дроби. 

(sina/cosa + cosb/sinb)/(sinb/cosb + cosa/sina) = tga * ctgb; 

((sin a * sin b + cos b * cos a)/(cos a * sin b))/((sin b * sin a + cos a * cos b)/(cos b * sin a)) = tg a * tg b;  

Частное двух дробей запишем в виде произведения первой дроби на вторую но перевернутую дробь. 

(cos (a - b)/(cosa * sinb)) * cosb * sina/cos (a - b)) = tga * tgb;   

(cosb * sina)/(cosa * sinb) = tga * tgb; 

tga * ctgb = tga * ctgb;  

В данном выражении видно, что значения с двух сторон одинаковы, а значит изначальное тождество верно, то есть левая часть тождества равна правой части.