Точка К находится на основании равнобедренного треугольника докажите что сумма расстояний от этой точки до боковых сторон

Пусть АВС - данный треугольник, АС - основание, точка К принадлежит АС.

Проведем высоты от точки К до сторон треугольника КЕ и КН (Е принадлежит АВ, Н принадлежит ВС).

Рассмотрим площади треугольников АКВ и ВКС:

S(АКВ) = 1/2 * КЕ * АВ.

S(ВКС) = 1/2 * КН * ВС = 1/2 * КН * АВ (так как треугольник равнобедренный).

В сумме будет площадь всего треугольника АВС:

S(АВС) = S(АКВ) + S(ВКС) = 1/2 * КЕ * АВ + 1/2 * КН * АВ = 1/2 * АВ(КЕ + КН).

Перенесем точку К немного правее (или левее), пусть это будет точка К₁.

Проведем высоты К₁Е₁ и К₁Н₁ (Е₁ принадлежит АВ), Н₁ принадлежит ВС).

Аналогично рассматриваем сумму площадей треугольников АК₁В и ВК₁С:

S(АВС) = S(АК₁В) + S(ВК₁С) = 1/2 * К₁Е₁ * АВ + 1/2 * К₁Н₁ * АВ = 1/2 * АВ(К₁Е₁ + К₁Н₁).

Следовательно, 1/2 * АВ(КЕ + КН) = 1/2 * АВ(К₁Е₁ + К₁Н₁).

Отсюда КЕ + КН = К₁Е₁ + К₁Н₁. То есть, где бы ни стояла точка К, сумма расстояний от нее до сторон треугольника будет постоянным числом.