Поомгите пж с математикой

Мы начинаем с рассмотрения уравнений вида ax2 + bx + c = 0. (1) Если a 6= 0, то уравнение (1) является квадратным. Не забываем, однако, что параметр a «никому ничем не обязан» и может равняться нулю (и тогда уравнение перестаёт быть квадратным). Случай a = 0 при необходимости следует рассматривать отдельно. Напомним известные вам факты теории. Пусть уравнение (1) является квадратным, то есть a 6= 0. Тогда дискриминант этого уравнения есть величина D = b 2−4ac. Возможны три случая. 1. Если D > 0, то уравнение (1) имеет ровно два различных корня: x1,2 = −b ± √ D 2a . 2. Если D = 0, то уравнение (1) имеет единственный корень x = − b 2a . 3. Если D < 0, то уравнение (1) не имеет корней. Для квадратного уравнения вида ax2 + 2kx + b = 0 удобно использовать дискриминант D1 = D 4 = k 2 − ac. Тогда формула корней выглядит так: x1,2 = −k ± √ D1 a . Если уравнение (1) имеет два различных корня x1 и x2, то его левая часть раскладывается на множители следующим образом: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2). Если уравнение (1) имеет единственный корень x0, то его левая часть является полным квадратом: ax2 + bx + c = a(x − x0) 2 . Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различных корня x1 и x2, то справедливы формулы:    x1 + x2 = − b a , x1x2 = c a . 1 Эти же формулы имеют место и в случае единственного корня x1, если положить x2 = x1. Задача 1. («Покори Воробьёвы горы!», 2014, 10–11 ) Определите, сколько существует различных значений a, при которых уравнение 1 − a 2
x 2 + ax + 1 = 0 имеет единственное решение. Решение. Эта простая задача отборочного тура содержит маленький подвох: надо не забыть рассмотреть отдельно значения a = ±1, при которых уравнение окажется не квадратным, а линейным. Так, при a = 1 уравнение принимает вид x + 1 = 0 и имеет единственный корень x = −1; аналогично, при a = −1 уравнение имеет единственный корень x = 1. Если же a 6= ±1, то наше уравнение — квадратное с дискриминантом D = a 2 − 4(1 − a 2 ) = 5a 2 − 4. Корень будет единственным в том и только в том случае, если D = 0, то есть при a = ±2/ √ 5. Всего, стало быть, получается четыре значения a. Ответ: Четыре. Задача 2. При всех a решить уравнение x 2 + ax + 9 = 0. Решение. Находим дискриминант: D = a 2 − 36 = (a − 6)(a + 6). Методом интервалов определяем знаки дискриминанта: X + − + −6 6 Соответственно, рассматриваем следующие случаи. Если a < −6 или a > 6, то уравнение имеет два корня: x = −a ± √ a 2 − 36 2 . (2) Если a = −6, то корень один, и он легко получается из формулы (2): x = 3. Аналогично, если a = 6, то x = −3. Наконец, если −6 < a < 6, то уравнение не имеет решений. Ответ: Если a ∈ (−∞; −6) ∪ (6; +∞), то x = −a± √ a 2−36 2 ; если a = −6, то x = 3; если a = 6, то x = −3; если a ∈ (−6; 6), то решений нет. Можно дать ответ в более сжатом виде, если «пристыковать» случаи a = ±6 к первому случаю. Ответ: Если a ∈ (−∞; −6] ∪ [6; +∞), то x = −a± √ a 2−36 2 ; если a ∈ (−6; 6), то решений нет. В каком именно виде записывать ответ — дело вашего вкуса. Мы обычно будем предпочитать второй вариант. Задача 3. При всех a решить уравнение ax2 + x + 1 = 0. Решение. Здесь тоже хочется сразу написать дискриминант, но давайте всё же заметим, что возможно a = 0, и тогда уравнение не будет квадратным (так что ни о каком дискриминанте говорить не придётся). Этот случай надо рассмотреть отдельно. Пусть a = 0. Тогда уравнение примет вид x + 1 = 0, откуда x = −1.