Можно ли расширить множество комплексных чисел ?

Множество комплексных чисел - это расширение множества действительных чисел.

Действительные числа состоят из одного компонента - само число, равное n единиц.

Комплексные числа состоят из двух компонентов: действительного и мнимого.

Действительная часть по-прежнему измеряется в 1 (единицах).

А мнимая часть измеряется в i (мнимых единицах).

Связь между действительной и мнимой частями такая: i^2 = -1.

Мнимые и комплексные числа придумал Джузеппе Кардано в 1545 году.

300 лет спустя, в 1843, Уильям Гамильтон придумал кватернионы.

Это расширение комплексных чисел, которые состоят уже из 4 компонентов: 1, i, j, k.

Связь комплексных частей с действительными всё та же: i^2 = j^2 = k^2 = i*j*k = -1.

А вот связь мнимых компонентов друг с другом более интересная.

Произведение компонентов зависит от порядка множителей: i*j = k; j*i = -k.

Тоже самое с другими парами: j*k = i; k*j = -i; k*i = j; i*k = -j.

Приятель Уильяма Гамильтона Джон Грейвс в том же 1843 году придумал октонионы.

В 1845 году независимо от Грейвса их же придумал Артур Кэли.

Октонионы, они же октавы - это ещё более развитая система, уже из 8 компонентов.

Сейчас она так и называется - алгебра Кэли.