Подскажите почему это уравнение не имеет решений? Как это доказать?

Потому что каждый квадратный корень - арифметический, то есть неотрицательный.

Сложили два неотрицательных числа, потом ещё прибавили 4.

Результат должен быть больше 4.

Результат был бы равен 4, если бы оба корня были равны 0, а это невозможно.

Первый корень равен 0 при x = 1/2, а второй равен 0 при x = -5/3.

Если в уравнении эта сумма равна 0, то у такого уравнения корней нет.