Найдите знаменатель и сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии в которой первый член в корне 3

И второй член 2/корень3+1

Сумма:

S = b₁/(1 - q), где q – знаменатель, b₁ – первый член.

b₁ – неизвестно, b2 = 0,5;

q = b₂/b₁ = 0,5/b₁ = 1/2b₁;

Подставляем значение суммы и выражение для q:

2,25 = b₁/(1 - 1/2b₁);

2,25 * (1 - 1/2b₁) = b₁;

2,25 – 2,25/2b₁ = b₁;

4,5b₁ – 2,25 = 2b₁^2;

2b₁^2 – 4,5b₁ + 2,25 = 0;

Возможны два корня - b₁₁ и b₁₂:

b₁₁ = (4,5 - √(4,5^2 - 4 * 2 * 2,25)/4 =

= (4,5 - √(20,25 - 18))/4 =

= (5 – √2,25)/4 = (4,5 – 1,5)/4 = 3/4; 

b₁₂ = (4,5 + 1,5)/4 = 6/4 = 1,5;

q ₁₁ = b₁₁/b₂ = (1/2)/(3/4) = 4/6 = 2/3.

Проверка:

S = (3/4)/(1 - 4/6) = (3/4)/(2/6)= 18/8 = 2,25;

q₁₂ = b₁₂/b₂ = 0,5/1,5 = 1/3.

Проверка:

S = 1,5/(1 - 1/3) = 1,5/(2/3) = 4,5/2 = 2,25.

Ответ:

1) b₁₁ = 0,75, q₁₁ = 2/3.

2) b₁₂ = 1,5, q₁₂ = 1/3.