Основою піраміди є грань куба, а вершиною – його центр. Знайдіть об’єм піраміди, якщо ребро куба дорівнює 3 см.

а) Рассмотрим ребро куба, лежащее в грани SBC. Верхняя грань куба параллельна основанию пирамиды, поэтому пересекает грань SBC по прямой, параллельной BC. Значит, и ребро куба, соединяющее вершины, принадлежащие граням SAB (обозначим M) и SAC (обозначим N) параллельна BC. Плоскость же ASD перпендикулярна BC, так как прямая AD перпендикулярна прямой BC и прямая SD перпендикулярна прямой BC. Значит, плоскость ASD перпендикулярна прямой MN, а вместе с ним (по признаку перпендикулярности плоскостей) и плоскости SMN.

б) Пусть высота пирамиды равна x. Тогда  и площадь основания пирамиды равна:

Тогда объем пирамиды равен:

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, содержащей верхнюю грань куба. Это правильный треугольник, в который вписан квадрат так, что одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника, а две другие его вершины лежат на других сторонах треугольника. Без ограничения общности можно считать, что ребро куба равно 1. Тогда сторона этого треугольника равна:

Теперь можно заметить, что плоскость, содержащая верхнюю грань куба отсекла от нашей пирамиды подобную пирамиду с высотой  Запишем отношение подобия:

Решая это уравнение, получим, что

Теперь можно вычислить отношение объемов пирамиды и куба. Оно равно:

Ответ: