Исследовать с помощью производной и построить график функции y=x^2/(x^2-1)

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число.

E(f) = R, у любое число.

2) Нули функции. Найдем точки пересечения графика с осью х.

у = 0.

x³ + x² - 8x = 0.

 х(x² + х – 8) = 0.

х = 0 или x² + х – 8 = 0.

D = 1 + 32 = 33 (√D = √33).

x = (-1 - √33)/2 (~ -3,4).

х = (-1 + √33/2 (~2,4).

График функции пересекает ось х в точках (-1 - √33)/2, 0 и (-1 + √33)/2.

Найдем точку пересечения с осью у.

х = 0.

у = 0³ + 0² – 8 * 0 = 0.

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f(x) = x³ + x² - 8x.

f(- x) = (-x)³ + (-x)² – 8(-х) = -x³ + x² + 8x

f(x) не равно f(-x) и f(x) не равно -f(-x), значит функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках (-1 - √33)/2, 0 и (-1 + √33)/2.

Определяем знаки функции на каждом промежутке.

(-) (-1 - √33)/2 (+) 0 (-) (-1 + √33)/2 (+).

у > 0 на промежутках (-∞;(-1 - √33)/2)) и (0; (-1 + √33)/2.

у < 0 на промежутках ((-1 - √33)/2; 0) и ((-1 + √33)/2); +∞).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = x³ + x² - 8x.

f`(x) = 3х² + 2х – 8.

Приравняем производную к нулю.

f`(x) = 0; 3х² + 2х – 8 = 0.

D = 4 + 96 = 100 (√D = 10).

х1 = (-2 – 10)/6 = -2.

х2 = (-2 + 10)/6 = 8/6 = 4/3.

Определяем знаки производной на каждом промежутке.

(+) -2 (-) 4/3 (+).

(-∞; -2) производная (+), функция возрастает.

(-2; 4/3) производная (-), функция убывает.

(4/3; +∞) производная (+), функция возрастает.

Значит, точка 4/3 - это точка минимума, а (-2) - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = x³ + x² - 8x.

х_min = 4/3; у_min = (4/3)³ + (4/3)² – 8 * 4/3 = -186/27 = -6 8/9.

х_max = -2; у = (-2)³ + (-2)² – 8 * (-2) = 12.

График функции http://bit.ly/2HKCsJV.