Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) уравнение высоты CD; 4) уравнение медианы АЕ.

А(4, 1), В(16, –8); С(14, 6).

 1.

• A(−1; 4);
• B(11; − 5);
• C(15; 17);
• AB = √(12^2 + 9^2) = √(144 + 81) = √225 = 15.

  2. Уравнение AB и BC и угловые коэффициенты:

  1) AB:

• k1 = -9 : 12 = -3/4;
• y - 4 = -3/4(x + 1);
• y = 4 - 3/4 * x - 3/4 = -3/4 * x + 13/4;

  2) BC:

• k2 = 22 : 4 = 11/2 = 5,5;
• y + 4 = 5,5(x - 11);
• y = 5,5x - 60,5 - 4 = 5,5x - 64,5.

  3.

• tgψ = (k2 - k1)/(1 - k1k2) = (5,5 + 0,25)/(1 + 5,5 * 0,25) = (44 + 2)/(8 + 11) = 46/19;
• ψ = arctg(46/19) ≈ 1,1791.

  4. Угловой коэффициент CD:

• k3 = -1/k1 = 4/3.
• y - 17 = 4/3(x - 15);
• y = 4/3 * x - 20 + 17 = 4/3 * x - 3;
• 4/3 * x - 3 = -3/4 * x + 13/4;
• 16x - 36 = -9x + 39;
• 25x = 75;
• x = 3;
• y = 4/3 * 3 - 3 = 1;
• D(3; 1);
• CD^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400;
• CD = 20.

  5. Медиана AE:

• x = (11 + 15)/2 = 13;
• y = (17 - 5)/2 = 6;
• E(13; 6);
• A(−1; 4);
• y = 4 + 2/14(x + 1) = 1/7 * x + 29/7;
• CD: y = 4/3 * x - 3;
• 1/7 * x + 29/7 = 4/3 * x - 3;
• 3x + 87 = 28x - 63;
• 25x = 150;
• x = 6;
• y = 4/3 * 6 - 3 = 5;
• K(6; 5).

  6.

• A(−1; 4);
• D(3; 1);
• x(F) = x(D) + (x(D) - x(A)) = 3 + 4 = 7;
• y(F) = y(D) + (y(D) - y(A)) = 1 - 3 = -2;
• F(7; -2).