Докажите, что прямая = 3 − 2, = −4, = 4 + 1 параллельна плоскости4 − 3 − 6 + 3 = 0.​

Уравнение прямой выразим в каноническом виде.

x = 3t – 2,  x + 2 = 3t, t = (x + 2)/3.

y = -4t, t = y/(-4).

z = 4t +1, z – 1 = 4t, t = (z – 1)/4.

Получаем уравнения:

(x + 2)/3 = y/(-4) = (z – 1)/4.

Отсюда определяем направляющий вектор заданной прямой.

n = (3; -4; 4).

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Нормальный вектор плоскости снимаем с её уравнения.

N = (4; -3; -6).

Находим скалярное произведение этих векторов.

nxN = 3*4 + (-4)*(-3) +  4*(-6) = 12 + 12 – 24 = 0.

Доказана параллельность.