по кругу выписаны 100 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения двух следующих за ним по часовой стрелке чисел. какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 100 выписанных чисел?

Оценка. Предположим, что два неотрицательных числа стоят рядом. Тогда число, стоящее перед ними, больше их суммы, то есть положительно. Аналогично, число перед ним также положительно, и т. д. В итоге получаем, что все числа неотрицательны; но тогда наименьшее из них не может быть больше суммы двух следующих – противоречие. Итак, среди каждых двух чисел, стоящих рядом, есть хотя бы одно отрицательное. Значит, положительных чисел не более 50. 

 Пусть их ровно 50, тогда они чередуются с отрицательными. Рассмотрим три числа – a, b, – c, стоящие подряд (здесь a, b, c > 0). Тогда 

– a > b > – c > – c, то есть каждое отрицательное число строго больше следующего за ним отрицательного числа. Поскольку числа стоят по кругу, это невозможно. Стало быть, положительных чисел не более 49.

 Пример, в котором ровно 49 положительных чисел: – 200, 1, – 202, 1, – 204, 1, – 206, 1, ..., – 296, 1, – 298, – 99.

Правильный ответ: 50

Рассмотрим ряд из 2-х чисел a > 0 и b < 0: a, b, a, b, ...

Тогда для любых a и b: a > ab и b > ab, что и требовалось