линейная алгебра

1. Вычислить расстояние между точками А(9:-2) и В(7;1).

2 . В пространстве даны точки А(5;2;-8), В(6:2;4), С(0;6;-6). Вычислить косинус угла ВАС.

1)Чтобы найти расстояние между точками A и B, зная их координаты, необходимо из конечной точки В вычесть соответствующие координаты начальной точки А. То есть: AB = B_х - A_х. 

Подставим значения координат точки А ( -7,3) и точки В ( -2):

AB = -2 - ( -7,3) (так как перед скобкой отрицательный знак, то при раскрытии скобок поменяем знаки в скобках на противоположные знаки) = -2 + 7,3 = 5,3.

 Подставим значения координат точки А ( -8,4) и точки В ( -3,5):

AB = -3,5 - ( -8,4) = -3,5 + 8,4 = 4,9.

Ответ: расстояние между точками А ( -7,3) и В ( -2) составляет 5,3 единицы; между точками А ( -8,4) и В ( -3,5) составляет 4,9 единиц

2)Угол С - это угол между векторами СА и СВ.

1. Определим координаты вектора СА:

СА = (- 1 - 0; 3 - (- 2); - 5 - (- 5)) = (- 1; 5; 0).

Определим координаты вектора СВ:

СВ = (4 - 0; 2 - (- 2); - 5 - (- 5)) = (4; 4; 0).

2. Найдем скалярное произведение векторов СА и СВ:

СА*СВ = (-1)*4 + 5*4 + 0*0 = - 4 + 20 + 0 = 16.

3. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.

Найдем длину вектора СА:

|СА| = √((-1)^2 + 5^2 + 0^2) = √(1 + 25 + 0) = √26.

Найдем длину вектора СВ:

|СВ| = √(4^2 + 4^2 + 0^2) = √(16 + 16 + 0) = √32.

4. Таким образом:

|СА|*|СВ|*cosC = СА*СВ;

√26 * √32 * cosC = 16;

cosC = 16/√832 = 16/√16*4*13 = 16/4*2√13 = 16/8√13 = 2/√13 = 2√13 / 13.

Ответ: cosC = 2√13 / 13.