Высота правильной четырехугольной пирамиды 30см, а апофема наклонена к основанию под углом в 60 градусов. Вычислить радиус шара равновеликого данной пирамиде

  Если пирамида правильная, то в основании квадрат со стороной а, высота пирамиды H попадает в центр этого квадрата. Проекцией апофемы h будет радиус вписанной окружности r. Найдем по теореме Пифагора r из прямоугольного треугольника с катетами Н и r, гипотенузой h:

r = √(15^2 - 12^2) = 9 (см).

а = 9 * 2 = 18 (см).

S осн = 18^2 = 324 (cм^2).

Угол наклона боковых граней к основанию β - это угол между апофемой и радиусом вписанной окружности:

cosβ = 9/15 = 3/5.

S бок пов = S осн / cosβ = 324 / (3/5) = 540 (cм^2).

S полн пов = 540 + 324 = 864 (cм^2).