доведіть нерівність x³+x>=2x²+2 якщо x>=2​

Ответ:

Для доведення нерівності x³+x>=2x²+2, якщо x>=2, почнемо з рівняння 2x²+2. З отриманого рівняння віднімемо x³ та додаємо -x. Отримаємо:

2x²+2-x³-x>=0

-x³+2x²-x>=0

Перерахуємо складені члени:

-x(x²-1)>=0

З умови x>=2 ми зрозуміло, що x²>=4, тому x²-1>=3 та -x<=0. З цих двох умов отримуємо:

-x(x²-1)<=0

Об'єднаємо дві нерівності:

-x(x²-1)<=0 та -x(x²-1)>=0

Отримаємо:

-x(x²-1)=0

Для того, щоб вирішити це рівняння, потрібно розглянути два випадки: x=0 та x²-1=0. Для x=0 рівняння вирішується, а для x²-1=0 отримуємо x=±1. Таким чином, рішенням нерівності x³+x>=2x²+2, якщо x>=2, є множина {x|x=0, x=1, x=-1, x≥2}. Доведено.

Пошаговое объяснение: