Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.

общее уравнение прямой l

2x+y-3z-2=0

2x-y+z+6=0

Координаты точки М

(-1; 0; 3)

общее уравнение плоскости Р

x-2y+5z-6=0

Прямая l задана как линия пересечения двух плоскостей:

{2x–3y–2z+6=0

{x–3y+z+3=0

Найдем две точки, принадлежащие линии пересечения.

Пусть первая координата точки, принадлежащей линии пересечения х=0

Тогда система принимает вид:

{–3y–2z+6=0

{–3y+z+3=0

Вычитаем из первого второе:

–3z+3=0

z=1

3y=z+3

y=4/3

А(0; 4/3; 1)

Пусть вторая координата точки, принадлежащей линии пересечения y=0

Тогда системa принимает вид:

{2x–2z+6=0

{x+z+3=0

умножаем второе на 2 и складываем

{2x–2z+6=0

{2x+2z+6=0

4х+12=0

х=–3

z=0

В(–3;0;0)

Cоставляем уравнение прямой. проходящей через две точки

А(0; 4/3; 1) и В(–3;0;0)

(x–0)/–3–0=(y+(4/3))/(0–(4/3))=(z–1)/(0–1)

x/(–3) =(y+(4/3))/(–4/3) =(z–1)/(–1) – каноническое уравнение

прямой l

Уравнение прямой l₁ параллельной l есть уравнение прямой, проходящей через точку М (0;2;–1)

с таким направляющим вектором

s=(–3;4/3;–1)

x–0/(–3) =(y–2)/(–4/3) =(z+1)/(–1) – каноническое уравнение

прямой l₁

Чтобы найти точку пересечния прямой l и плоскости Р.

Вводим параметр:

x/(–3) =(y+(4/3))/(–4/3) =(z–1)/(–1)=t

{x=–3t

{y=(–4/3)t–(4/3)

{z=–t+1

Подставляем в уравнение плоскости Р

(–3t)–2·((–4/3)t–(4/3))+3·(–t+1)–4=0

t=1/2

тогда

х=–3/2

y=–2

z=1/2

(–3/2;–2;1/2) – точка пересечения прямой l и пл. Р