В треугольнике ABC, угол ACB=90°, CDперпендикулярно AB, угол DCB=30°, AB=8 м, АС-4 в квадратном корне 3 м. Найдите площадь треугольника АВС (рисунок 1).

Ответ:

Для того, чтобы найти площадь треугольника ABC, нам необходимо знать длины его сторон. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACB, находим длину гипотенузы:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √(8^2 + BC^2)

Также, замечаем, что треугольник ACD — 30-60-90, так как ∠ADC = 90° и ∠DCB = 30°. Поэтому, мы можем легко найти длину AD:

AD = CD / √3 = BC / 2

Замечаем, что в прямоугольном треугольнике ACD, мы можем выразить длину BC через длины AC и AD, применив тригонометрию:

sin 30° = AD / AC = (BC / 2) / √(8^2 + BC^2)

Решая уравнение относительно BC, мы находим:

BC = 8 / √3 м

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = (1/2) * AB * AC * sin ∠BAC

S = (1/2) * 8 м * √(8^2 + (8/√3)^2) * sin ∠BAC

Осталось найти sin ∠BAC. Мы можем найти его, применив теорему косинусов к треугольнику ABC:

cos ∠BAC = AB / AC = 8 / √(8^2 + (8/√3)^2)

sin^2 ∠BAC = 1 - cos^2 ∠BAC = 1 - (8 / √(8^2 + (8/√3)^2))^2

sin ∠BAC ≈ 0.7759

Подставляя значения, находим площадь:

S = (1/2) * 8 м * √(8^2 + (8/√3)^2) * sin ∠BAC ≈ 17.32 м^2

Ответ: площадь треугольника АВС ≈ 17.32 м^2.

Пошаговое объяснение: