Докажите, что 2sin²2x = 1 - cos4x

Для доведення цього твердження скористаємося формулою тригонометрії:

sin²θ + cos²θ = 1

Застосуємо цю формулу двічі:

sin²2x + cos²2x = 1 (1)

cos²2x + sin²2x = 1 (2)

Додамо ліві та праві частини обох рівнянь:

sin²2x + cos²2x + cos²2x + sin²2x = 2

2(sin²2x + cos²2x) = 2

Замінимо sin²2x на вираз з лівої частини рівняння (1):

2(1 - cos²2x) + cos²2x + sin²2x = 2

2 - 2cos²2x + cos²2x + sin²2x = 2

1 + cos²2x = sin²2x + cos²2x

1 = sin²2x + cos²2x - cos²2x

1 = sin²2x

Тепер замінимо sin²2x на 1 у виразі, який маємо довести:

2sin²2x = 1 - cos4x

2(1) = 1 - cos4x

2 = 1 - cos4x

cos4x = -1

Таким чином, ми довели, що

2sin²2x = 1 - cos4x.