ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУСТА,СРОЧНО!!доведіть,що значення виразу 5⁹+3¹² ділиться націло на 103ДАМ 50 БАЛОВ!|_​

Покрокове пояснення:

Для доведення того, що значення виразу 5⁹ + 3¹² ділиться націло на 103 скористаємося теоремою Ферма і малою теоремою Ферма.

Теорема Ферма стверджує, що якщо p є просте і a не ділиться на p, то

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Застосуємо теорему Ферма до числа 103:

5^(103-1) ≡ 1 (mod 103)

5^102 ≡ 1 (mod 103)

Отже,

5^9 ≡ 5^9 * 1 ≡ 5^9 * 5^102 ≡ 5^111 (mod 103)

Застосуємо тепер малу теорему Ферма до числа 3:

3^102 ≡ 1 (mod 103)

3^12 ≡ 3^12 * 1 ≡ 3^12 * 3^102 ≡ 3^114 (mod 103)

Тепер обчислимо значення виразу 5^9 + 3^12:

5^9 + 3^12 ≡ 5^111 + 3^114 (mod 103)

5^111 ≡ 5^3 * (5^54)^2 ≡ 125 * 1^2 ≡ 22 (mod 103)

3^114 ≡ 3^12 * (3^51)^2 ≡ 531441 * 1^2 ≡ 23 (mod 103)

Тоді,

5^9 + 3^12 ≡ 22 + 23 ≡ 45 (mod 103)

Отже, 5⁹+3¹² ділиться націло на 103.