Пусть m и n-взаимно простые положительные целые числа .Если m³ n⁵ имеет 209 положительных делителей, то сколько положительных делителей имеет m⁵ n³?Скажите пожалуйста

Ответ:

Из условия задачи следует, что количество положительных делителей числа m³ n⁵ равно 209. Поэтому мы можем записать:

m³ n⁵ = p₁^a₁ p₂^a₂ ... pₖ^aₖ,

где p₁, p₂, ..., pₖ - различные простые числа, а a₁, a₂, ..., aₖ - их показатели степени.

Так как m и n взаимно просты, то m³ и n⁵ также взаимно просты, и поэтому каждый из простых множителей p₁, p₂, ..., pₖ должен быть либо делителем m³, либо делителем n⁵.

Количество положительных делителей числа m³ n⁵ равно (a₁+1)(a₂+1)...(aₖ+1) = 209. Мы знаем, что 209 = 7 × 29, поэтому возможны следующие варианты:

a₁+1 = 7, a₂+1 = 29,

a₁+1 = 29, a₂+1 = 7.

Первый вариант невозможен, так как в этом случае a₁ = 6, что означает, что p₁^6 является делителем m³ n⁵, но не является делителем m³. Таким образом, остается только один вариант:

a₁+1 = 29, a₂+1 = 7.

Отсюда следует, что:

m³ = p₁^28 q₁,

n⁵ = p₂^6 q₂,

где q₁ и q₂ - некоторые положительные целые числа, не содержащие простых множителей из разложений m³ и n⁵ соответственно.

Теперь мы можем выразить m и n через p₁ и p₂:

m = p₁⁹ q₃,

n = p₂⁵ q₄,

где q₃ и q₄ - некоторые положительные целые числа, не содержащие простых множителей из разложений m³ и n⁵ соответственно.

Таким образом,

m⁵ n³ = (p₁⁹ q₃)⁵ (p₂⁵ q₄)³ = p₁⁴⁵ p₂¹⁵ q₃⁵ q₄³.

Количество положительных делителей числа m⁵ n³ равно (46)(16) = 736.

Ответ: m⁵ n³ имеет 736 положительных делителей

Пошаговое объяснение:

даж не зна ю