ABCDA,B,C,D, куб, знайдіть кут між прямими B1D і AC.

Щоб знайти кут між прямими B₁D і AC, потрібно спочатку визначити їх напрямки. Для цього ми можемо спочатку знайти точки перетину.

Оскільки ABCDA - куб, то ми можемо визначити координати точок B₁ і D. Для цього ми можемо знайти середину відрізка AD (позначимо її як M), і потім відрізати відрізок BM на відстані, що дорівнює довжині сторони куба. Точка B₁ буде на цій відстані від B.

Отже, ми маємо:

M (середина AD): M = (0, 0, 1)

B: B = (1, 0, 1)

D: D = (0, 1, 0)

Точка B₁ знаходиться на відрізку BM, де BM = AB. Оскільки сторона куба має довжину 1, то ми можемо знайти B₁, відрізавши від BM відрізок довжиною 1/2. Отже, ми маємо:

BM: BM = (1/2, 1/2, 1)

B₁: B₁ = (3/4, 1/4, 1)

Тепер, щоб знайти напрямок прямої B₁D, ми можемо знайти вектор BD і нормалізувати його. Аналогічно, щоб знайти напрямок прямої AC, ми можемо знайти вектор AC і нормалізувати його. Потім ми можемо використовувати дотичний продукт, щоб знайти кут між цими векторами.

Маємо:

BD = D - B = (-1, 1, -1)

AC = C - A = (0, -1, 1)

Нормалізуємо їх, отримуємо:

BD̂ = (-1/√3, 1/√3, -1/√3)

AĈ = (0, -1/√2, 1/√2)

Тепер ми можемо знайти кут між цими напрямками, використовуючи дотичний продукт:

cos(θ) = BD̂ · AĈ

= (-1/√3)(0) + (1/√3)(-1/√2) + (-1/√3)(1/√2)

= -1/√6

Отже, ми можемо знайти кут між прямими B₁D і AC за допомогою оберненого косинуса:

θ = cos⁻¹(-1/√6)

≈ 126.9°