Сума восьми перших членів арифметичної прогресії дорівнює сумі її перших одинадцяти членів. Знайдіть суму перших дев'ятнадцяти членів прогресії. Распишите пожалуйста

Позначимо перший член прогресії через a, а різницю між її членами через d. Тоді за умовою задачі маємо:2a + 3d + 4d + ... + 9d = 2a + 3d + 4d + ... + 9d + 10d + 11d + 12d + ... + 19dСкоротивши спільні доданки, отримуємо:10d + 11d + 12d + ... + 19d = 0Сума десяти членів прогресії дорівнює нулю, тому середнє арифметичне цих десяти членів теж дорівнює нулю. А середнє арифметичне дорівнює сумі перших і останніх членів, поділені на два:(10d + 19d) / 2 = 14,5dОтже, 10d + 11d + 12d + ... + 19d = 14,5d * 10 = 145d.Знаючи це, можемо знайти суму перших дев'ятнадцяти членів прогресії:S19 = (a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + 18d)) = 2S8 + 11d + 12d + ... + 19d = 2S8 + 145dОскільки за умовою задачі сума перших восьми членів прогресії дорівнює сумі перших одинадцяти членів, то маємо:a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + 7d) = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + 10d)8a + 28d = 11a + 55d3a = 27da = 9dОтже, сума перших восьми членів прогресії дорівнює:S8 = (a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + 7d)) = 8a + 28d = 8 * 9d + 28d = 100dТоді сума перших дев'ятнадцяти членів прогресії дорівнює:S19 = 2S8 + 145d = 2 * 100d + 145d = 345d