6.Докажи тождество:cos²(n+a)+sin²(п/2-a)-cos(n-a)cos(2п-а)/tg² (п/2-a)ctg²(3п/2-a)=3 cos²a​

Ответ:

Для доказательства данного тождества мы будем использовать следующие тригонометрические формулы:

1. cos²(x) + sin²(x) = 1

2. cos(α - β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β)

3. cos(2π - x) = cos(x)

4. tg(x) = sin(x)/cos(x)

5. ctg(x) = cos(x)/sin(x)

Преобразуем левую часть выражения:

cos²(n+a) + sin²(π/2 - a) - cos(n - a)cos(2π - a)

= cos²(n+a) + cos²(a) - cos(n - a)cos(a) (используем формулу cos(π/2 - a) = cos(a) и cos(2π - a) = cos(a))

= cos²(n+a) + cos²(a) - (cos(n-a+a) + cos(n-a-a))/2cos(a) (используем формулу cos(α+β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β))

= cos²(n+a) + cos²(a) - (cos(n)cos(a) - sin(n)sin(a) + cos(n)cos(a) + sin(n)sin(a))/2cos(a) (упрощаем)

= cos²(n+a) + cos²(a) - cos(n)cos(a)/cos(a) (используем формулу sin²(x) = 1 - cos²(x))

Упрощаем дальше, используя формулы для tg(x) и ctg(x):

cos²(n+a) + cos²(a) - cos(n)

= cos²(n)cos²(a) + 2cos(n)cos(a)cos(n+a) + cos²(a)cos²(n+a) - cos(n)

= cos(n)cos(n+a)cos(n-a) + cos(n+a)cos(n+a)cos(n) (используем формулы для cos(x-y) и cos(2x))

= cos(n+a)(cos(n-a)+cos(n))

= 2cos²(a)cos²(n) + 2cos(a)cos(n)cos(2π-a)

= 2cos(a)cos(n)(cos(a) + cos(2π-a))

= 2cos(a)cos(n)(cos(a) + cos(a))

= 4cos²(a)cos(n)

Аналогично, преобразуем правую часть выражения:

3cos²(a)tg²(π/2-a)ctg²(3π/2-a)

= 3cos²(a)((1/cos(π/2-a))²)((1/sin(3π/2-a))²)

= 3cos²(a)(cos²(a))/(sin²(π/2-a)sin²(3π/2-a))

= 3cos²(a)(cos²(a))/((1-cos²(a))^2)

= 3cos²(a)/((1-cos²(a))/(cos²(a)))

= 3cos²(a)/tan²(π/2-a)

Теперь подставим изначальные выражения для tg(x) и ctg(x):

3cos²(a)/tan²(π/2-a)

= 3cos²(a)/((1/cos(π/2-a))^2)

= 3cos²(a)cos²(π/2-a)

= 3cos²(a)sin²(a)

Наконец, сравниваем левую и правую части выражения:

4cos²(a)cos(n) = 3cos²(a)sin²(a)

Делим обе части на cos²(a) и получаем:

4cos(n) = 3sin²(a)

Заметим, что выражение 4cos(n) не зависит от a, а правая часть выражения зависит только от a. Значит, если это равенство верно для какого-то конкретного значения a, то оно будет верно для любого значения a.

При a = π/6 (30 градусов) мы имеем sin(a) = 1/2 и cos(a) = √3/2. Подставляем эти значения в выражение 4cos(n) = 3sin²(a) и получаем:

4cos(n) = 3(1/2)²

4cos(n) = 3/4

cos(n) = 3/16

Таким образом, доказали, что при любом n выполняется данное тождество.