докажите тождество (1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a = 1​

Ответ:

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части:

(1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a

= sin⁴a/cos²a + cos²a (по определению tg)

= sin⁴a/cos²a + cos⁴a/cos²a (приводим к общему знаменателю)

= (sin⁴a + cos⁴a) / cos²a (складываем дроби)

= (sin²a)² + (cos²a)² / cos²a (по формуле (sin²a + cos²a)² = sin⁴a + cos⁴a + 2sin²a cos²a)

= (sin²a/cos²a)² + 1 (приводим к общему знаменателю)

= tg²a + 1 (по определению tg)

= 1/cos²a (по тригонометрическому тождеству tg²a + 1 = 1/cos²a)

= 1 (по тригонометрическому тождеству 1/cos²a = 1 + tg²a)

Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.