Решить дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях с помощью преобразования Лапласа с проверкой): x”+8x’+16x-1=0, x(0)=1, x’(0)=7

Ответ:

Для решения данного уравнения применим преобразование Лапласа. Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения:

L(x'') + 8L(x') + 16L(x) - L(1) = 0

По свойствам преобразования Лапласа получаем:

s^2X(s) - sx(0) - x'(0) + 8sX(s) - x(0) + 16X(s) - 1/s = 0

Подставляем начальные условия:

s^2X(s) - s(1) - 7 + 8sX(s) - 1 + 16X(s) - 1/s = 0

Упрощаем:

s^2X(s) + 8sX(s) + 16X(s) = s + 8

Переносим все на одну сторону:

s^2X(s) + 8sX(s) + 16X(s) - s - 8 = 0

Факторизуем:

(s + 4)^2X(s) - (s + 4) = 0

(s + 4)(s + 4)X(s) - (s + 4) = 0

(s + 4)(s + 4)X(s) = s + 4

X(s) = (s + 4)^-1 * (s + 4)^-1 * (s + 4)

X(s) = 1/(s + 4) * 1/(s + 4) * (s + 4)

X(s) = 1/(s + 4)^2

Применяем обратное преобразование Лапласа для определения решения:

x(t) = L^-1{1/(s + 4)^2}

x(t) = t * e^(-4t)

Проверим, что полученная функция является решением исходного уравнения:

x'' + 8x' + 16x - 1 = 0

Подставим функцию x(t):

x'' = 16e^(-4t)

x' = -4te^(-4t) + e^(-4t)

x = -t^2e^(-4t) + 2te^(-4t) - 1/4 e^(-4t)

Подставляем в уравнение:

16e^(-4t) - 32te^(-4t) + 16e^(-4t) - 1 = 0

Таким образом, полученная функция x(t) является решением данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях.

Пошаговое объяснение: