Прямая l задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой l1, и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения прямой l и плоскости Р.общее уравнение прямой l7x+5y-2z+1=0x+y-3z+1=0Координаты точки М(2; 0; 3)общее уравнение плоскости Р2x-5y-2z-6=0

1)

Прямая l

 задана как линия пересечения плоскостей:

{2x–2y–2z–4=0

{x+y+z+7=0

2x–2y–2z–4=0– общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₁=(2;–2;–2)

x+y+z+7=0 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором n₂=(1;1;1)

Направляющий вектор прямой l

q=n₁ × n₂

Находим векторное произведение векторов. заданных координатами:

q=n₁ × n₂=∣

∣

∣

∣

∣

i

⃗ 

2

1

j

⃗ 

−2

1

k

⃗ 

−2

1

∣

∣

∣

∣

∣

=−2i

⃗ 

−2j

⃗ 

+2k

⃗ 

+2k

⃗ 

+2i

⃗ 

−2j

⃗ 

=0i

⃗ 

−4j

⃗ 

+4k

⃗ 

q=(0;–4;4) – направляющий вектор прямой l

Осталось найти точку, принадлежащую прямой l

Так как прямая l

 – линия пересечения плоскостей:

{2x–2y–2z–4=0

{x+y+z+7=0

точек на ней – много.

Пусть третья координата точки z=0

тогда из системы

{2x–2y–4=0

{x+y+7=0

находим две другие координаты

{2x–2y–4=0

{2x+2y+14=0

4x+10=0

x=–2,5

y=–7–x=–7–(–2,5)=–4,5

Каноническое уравнение прямойl

 с направляющим вектором q=(0;–4;4) и проходящей через точку (–2,5;–4,5;0)

x−(−2,5)

0

=y−(−4,5)

−4

=z−0

4

x+2,5

0

=y+4,5

−4

=z

4

Запишем это уравнение как параметрическое

x+2,5

0

=y+4,5

−4

=z

4

=t

x=−2,5

y+4,5

−4

=t ⇒ y=−4t−4,5

z

4

=t ⇒ z=4t

2)

Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы

Каноническое уравнение прямойl

 с направляющим вектором q=(0;–4;4) и проходящей через точку (0;1;–1)

x−0

0

=y−1

1

=z−0

−1

3)

Чтобы найти проекцию точки M на прямую l

 :

надо составить уравнение прямой перпендикулярной прямой l

 и проходящей через точку M

Затем найти точку пересечения этих прямых.

Эта точка и будет проекцией точки М на прямую l

4)

Находим координаты точки пересечения прямой l

 и плоскости P

Решаем систему трех уравнений:

{2x–2y–2z–4=0

{x+y+z+7=0

{6x+7y–6z–1=0

любым способом ( метод крамера, например)

(−2,5;−11

13

;−95

26

)

– координаты точки