Доведи, що при будь якому натуральному значенні n значення виразу 4(3n - 4,5) - 9( 2/3n -2) є кратним числу 3

Для доведення того, що значення виразу є кратним 3, ми можемо застосувати метод математичної індукції.

   Базовий випадок: при n=1, ми маємо:

   4(3n - 4.5) - 9(2/3n - 2) = 4(3(1) - 4.5) - 9(2/3(1) - 2) = 3

   Оскільки 3 кратне 3, то базовий випадок виконується.

   Передположення: при n=k, вираз є кратним 3, тобто:

   4(3k - 4.5) - 9(2/3k - 2) = 3m, де m - ціле число.

   Доведення: розглянемо вираз при n=k+1:

   4(3(k+1) - 4.5) - 9(2/3(k+1) - 2) =

   = 4(3k + 3 - 4.5) - 9(2/3k + 2/3 - 2) =

   = 4(3k - 1.5) - 9(2/3k - 4/3) =

   = 12k - 6 - 6k + 12 =

   = 6k + 6 =

   = 3(2k + 2)

   Оскільки 2k+2 є цілим числом, то вираз також кратний 3.

Отже, ми довели, що при будь-якому натуральному значенні n, значення виразу 4(3n - 4.5) - 9(2/3n - 2) є кратним 3.