5. Произведение взаимно простых чисел а и b равно 120. Найдите разность НОК(a;b) - НОД(a;b).​

Решение:

1) Разложим число 120 на простые множители: 120 = 2^3 * 3 * 5.

2) Так как числа а и b взаимно просты, то они не имеют общих простых множителей, кроме единицы.

3) Разложим числа а и b на простые множители: а = 2^x * 3^y * 5^z, b = 2^p * 3^q * 5^r.

4) Все простые множители чисел а и b содержатся в разложении числа 120.

5) Поэтому, чтобы произведение чисел а и b было равно 120, нужно, чтобы каждый из простых множителей числа 120 был в разложении хотя бы одного из чисел а или b.

6) Из этого следует, что x, y, z, p, q, r не могут быть больше соответствующих показателей степени в разложении числа 120.

7) Так как a и b взаимно просты, то их НОД равен 1.

8) НОК(a;b) = 2^max(x;p) * 3^max(y;q) * 5^max(z;r) = 2^3 * 3 * 5 = 120.

9) Итак, НОК(a;b) - НОД(a;b) = 120 - 1 = 119.

Ответ: 119.