Повне вирішення завдання, з всіма деталями. Даю 100 балів!!! 4. Обчисліть площу фігури, обмеженоï лiнiями у = 2-x², y = 4 - х.

Ответ: 2.1

Для знаходження площі фігури потрібно знайти обмеження інтервалів зміни змінних. Для цього розв'яжемо систему рівнянь:

y = 2 - x²

y = 4 - x

Прирівнюємо вирази правих частин:

2 - x² = 4 - x

x² - x + 2 = 0

За допомогою квадратного рівняння знаходимо вершину x:

x = -(-1) / (2 * 1) = 1/2

Отже, область визначається наступним чином: 1/2 <= x <= sqrt(2). Інтегруємо функцію, що визначає криву за формулою S = ∫(4-x)dy, де y змінюється від 2-x² до 0.

S = ∫(2-x²)dy по x = y ∫(2-x²)dx по y

S = y(2x - 1/3x³) от x=1/2 до x=√2

S = ∫(2-x)dy по x = y(2-x) от x=√2 до x=1/2

Підставляємо крайні значення:

S = [y(2x - 1/3x³)] from x=1/2 to x=√2

S = [y(2-x)] from x=√2 to x=1/2

Використовуючи рівняння кривої y = 2 - x², підставляємо крайні значення:

S = [(2 - x²)(2x - 1/3x³)] from x=1/2 to x=√2

S = [(2 - x²)(2-x)] from x=√2 to x=1/2

Підставляємо числові значення та обчислюємо інтеграл:

S = [(2 - (√2)²)(2-√2)] - [(2 - (1/2)²)(2-1/2)]

S = 3/4 + (8-8√2)/3 ≈ 2.1

Отже, площа фігури дорівнює приблизно 2.1 квадратних одиниць.

Ответ:

Сначала построим графики обеих функций: параболы

�

=

�

2

+

2

y=x

2

+2 и обычной прямой

�

=

�

+

4

y=x+4 (чертеж смотрите ниже). Точками пересечения будут являться

(

−

1

;

3

)

(−1;3) и

(

2

;

6

)

(2;6) (для того, чтобы их найти, просто решим квадратное уравнение

�

2

+

2

=

�

−

4

x

2

+2=x−4 или же

�

2

−

�

−

2

=

0

x

2

−x−2=0 теоремой Виета).

Чтобы найти искомую площадь, мы найдем площадь под графиком (выделено светло-голубым и желтым цветом) и площадь обведенной серым трапеции. После из второго вычтем первое и получим то, что нам нужно.

1). Площадь трапеции.

�

�

�

=

3

⋅

3

+

3

⋅

3

2

=

13

,

5.

S

tr

=3⋅3+

2

3⋅3

=13,5.

2). Площадь под графиком.

Нам понадобится следующая формула (Ньютона-Лейбница):

∫

�

�

�

(

�

)

�

�

=

�

(

�

)

∣

�

�

=

�

(

�

)

−

�

(

�

)

.

b

∫

a

f(x)dx=F(x)∣

a

b

=F(b)−F(a).

Мы будем искать площадь на отрезке

[

−

1

;

2

]

[−1;2] :

∫

−

1

2

(

�

2

+

2

)

�

�

=

(

�

2

+

1

2

+

1

+

2

⋅

�

)

�

�

∣

−

1

2

=

(

�

3

3

+

2

�

)

�

�

∣

−

1

2

=

=

(

2

3

3

+

2

⋅

2

)

−

(

(

−

1

)

3

3

+

2

⋅

(

−

1

)

)

=

8

3

+

4

+

1

3

+

2

=

2

+

3

+

4

=

9.

−1

∫

2

(x

2

+2)dx=(

2+1

x

2+1

+2⋅x)dx∣

−1

2

=(

3

x

3

+2x)dx∣

−1

2

=

=(

3

2

3

+2⋅2)−(

3

(−1)

3

+2⋅(−1))=

3

8

+4+

3

1

+2=2+3+4=9.

3). Разность - искомая площадь.

�

=

13

,

5

−

9

=

4

,

5.

S=13,5−9=4,5.

Задача решена!