При каких значения параметра а система имеет ровно 4 решения? (x - (5 - a))2 + (y - (3a - 2))2 = 121 X2 - 4 = y2 - 4y

Разберем два уравнения по отдельности:

1) (x - (5 - a))2 + (y - (3a - 2))2 = 121

Это уравнение задает окружность с центром в точке (5 - a, 3a - 2) и радиусом 11.

2) X2 - 4 = y2 - 4y

Перепишем его в виде:

X2 - y2 = 4(y - 1)

Это уравнение задает гиперболу с центром в точке (0, 2) и вертикальной осью с осями симметрии, проходящими через точки (0, 0) и (0, 4).

Чтобы система имела ровно 4 решения, необходимо, чтобы гипербола пересекала окружность в 4 точках. Так как центры фигур не совпадают, гипербола не может быть вписана в окружность, и пересекать она ее может только в точках, где гипербола пересекает вертикальную ось симметрии (y-ось).

Перепишем уравнение гиперболы в виде:

y2/4 - x2/4 = 1

Отсюда видно, что при y=0 (то есть на оси симметрии) уравнение гиперболы принимает значение -1. Чтобы гипербола пересекла окружность в 4 точках, необходимо, чтобы она пересекала ось симметрии в 4 точках с положительными значениями y. Так как уравнение гиперболы симметрично относительно y-оси, то при y=2 оно принимает значение 0, за этой точкой значения y растут, а значит, гипербола пересечет ось симметрии в 4 точках с положительными значениями y, если ее значение на оси симметрии превысит 1.

Подставляя значение y=0 в уравнение гиперболы, получаем x^2=4, что соответствует двум точкам с x=2 и x=-2. Эти точки находятся за пределами окружности, поэтому не могут являться искомыми четырьмя точками пересечения.

Таким образом, система уравнений имеет ровно 4 решения при условии, что вертикальная ось симметрии гиперболы пересекает окружность в 4 точках с положительными значениями y, что возможно при a>1.